（1）将f（x）的图象按向量

e

=(-1，0)平移后得到的解析式为f(x+1)=

ax2+1

bx+c

若g(x)=

ax2+1

bx+c

关于原点对称，则当x=0时有意义，必有g（0）=0…（2分）

而g（0）≠0，所以c=0，且b≠0

∵f(2)=

a+1

b+c

=2，∴f(2)=

a+1

b

=2⇒a=2b-1，

∵f(3)=

4a+1

2b+c

＜3，∴f(3)=

4a+1

2b

＜3⇒4a＜6b-1

∴8b-4＜6b-1⇒b＜

3

2

，

又b∈N，b≠0，所以b=1，a=1∴f(x)=

(x-1)2+1

x-1

…（4分）

（2）|f(tx+1)|=|

(tx)2+1

tx

|=|tx+

1

tx

|

∵tx与

1

tx

同号，所以|tx+

1

tx

|=|tx|+

1

|tx|

≥2…（6分）

而|t+x|-|t-x|≤|t+x-（t-x）|=2|x|＜2

∴|t+x|-|t-x|＜|f（tx+1）|…（8分）

（3）[f(x+1)]n-f(xn+1)=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)…（9分）

令g(x)=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)，（x＞0）

则g(x)=

C

1n

xn-1(

1

x

)1+

C

2n

xn-2(

1

x

)2+…+

C

n-1n

x1(

1

x

)n-1，…..①g(x)=

C

n-1n

x1(

1

x

)n-1+

C

n-2n

x2(

1

x

)n-2+…+

C

1n

xn-1(

1

x

)1…..②

①②相加得2g(x)=[

C

1n

xn-1(

1

x

)1+

C

n-1n

x1(

1

x

)n-1]+…+[

C

n-1n

x1(

1

x

)n-1+

C

1n

xn-1(

1

x

)1]

=

C

1n

[xn-1(

1

x

)1+x1(

1

x

)n-1]+…+

C

n-1n

[x1(

1

x

)n-1+xn-1(

1

x

)1]…（12分）

≥2（C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1）=2（2ⁿ-2）

∴g（x）≥2ⁿ-2，即[f（x+1）]ⁿ-f（xⁿ+1）≥2ⁿ-2，当x=1时取等号…（14分）