问题 填空题

设x>1,y>1且(x-1)(y-1)=2,若x+y≥k恒成立,则实数k的取值范围是______.

答案

根据题意,x+y≥k可变形为(x-1)+(y-1)+2≥k,

只需k小于等于(x-1)+(y-1)+2的最小值即可,

设x>1,y>1,则(x-1)>0,(y-1)>0,

令t=(x-1)+(y-1)+2,且(x-1)(y-1)=2,

则t=(x-1)+

2
x-1
+2≥3+2
2

则k≤2+2

2

故答案为(-∞,2+2

2
].

辨析题
单项选择题