问题
填空题
设x>1,y>1且(x-1)(y-1)=2,若x+y≥k恒成立,则实数k的取值范围是______.
答案
根据题意,x+y≥k可变形为(x-1)+(y-1)+2≥k,
只需k小于等于(x-1)+(y-1)+2的最小值即可,
设x>1,y>1,则(x-1)>0,(y-1)>0,
令t=(x-1)+(y-1)+2,且(x-1)(y-1)=2,
则t=(x-1)+
+2≥3+22 x-1
,2
则k≤2+2
,2
故答案为(-∞,2+2
].2