问题
填空题
已知a，b，c∈（0，+∞），满足abc（a+b+c）=1，S=（a+c）（b+c），当S取最小值时，c的最大值为______．
答案
∵a＞0，b＞0，c＞0，且abc（a+b+c）=1，
∴c2+c(a+b)=1 ab
∴S=（a+c）（b+c）=ab+（a+b）c+c2=ab+
≥21 ab
=2ab• 1 ab
当且仅当ab=
即ab=1时取等号1 ab
∴Smin=2
此时1=abc（a+b+c）=c（a+
+c）=c2+(a+1 a
)c≥c2+2c1 a
∴c2+2c-1≤0
∵c＞0
∴0＜c≤
-12
∴c的最大值为
-12
故答案为：
-12
