（1）f(x)=

x+1

x2-1+4

=

1

x-1+ 4 x+1

=

1

x+1+ 4 x+1 -2

≤

1

2×2-2

=

1

2

⇔x=1时等号成立（4分）

即当x=1∈[0，2]时f（x）的最大值为

1

2

（6分）

（2）假设存在这样的自然数a满足条件，

由（1）知当x=1时，y_max=

1

2

则1∈[0，a]；所以a≥1（18分）

又f（x）在[0，1]上单增，在[1，a]上单减；且f（0）=

1

3

所以只需f(a)=

a+1

a2+3

≥

1

3

（11分）

解得0≤a≤3

又a≥1且a为自然数，所以a构成的集合为{1，2，3}．（13分）