问题 选择题

在算式“4×□+1×△=30”的两个□,△中,分别填入两个正整数,使它们的倒数之和最小,则这两个数构成的数对(□,△)应为(  )

A.(4,14)

B.(5,10)

C.(6,6)

D.(3,18)

答案

设1×m+4n=30,m、n∈N+,则m=30-4n,其中1≤n≤7.

所以y=

1
m
+
1
n
=
1
30-4n
+
1
n
=
3(10-n)
n(30-4n)

1
y
=
n(30-4n)
3(10-n)
=
40n-4n2-10n
3(10-n)
=
4n(10-n)-10n
3(10-n)
=
4n
3
-
10n
3(10-n)
=
4n
3
+
10(10-n)-100
3(10-n)

=

4n
3
-
100
3(10-n)
+
10
3
=
-4(10-n)+40
3
-
100
3 (10-n)
+
10
3
=-
4
3
[(10-n)+
25
10-n
]+
50
3
≤-
4
3
×2×
25
+
50
3
=
10
3

当10-n=

25
10-n
时取等号,即
1
y
取得最大值,y取得最小值.

解得n=5,则m=10.

则这两个数构成的数对(□,△)应为(5,10)

故选B.

单项选择题
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