问题
填空题
过P（2，1）作直线L与x轴正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，设∠BAO=2α（O为坐标原点），当△AOB的周长最小时，cotα=______．
答案
由题意，△AOB的周长可表示为OA+OB+PA+PB=2+cot2α+1+2tan2α+
+1 sin2α 2 cos2α
令tan2α=t，则周长为y=3+
+2t+1 t
+ 2t2+1 t t2+1
y/=-
+2-1 t2
+1 t2 t2+1 2t t2+1
令y′=0，可得t=3 4
∵函数在区间（0，
）上单调减，在（3 4
，+∞）上单调增，3 4
∴函数在t=
时，取得极小值，且为最小值．3 4
∴当tan2α=
时，周长最小3 4
∴
=2 tanα 1-tan2α 3 4
∴tanα=1 3
∴cotα=3
故答案为：3