问题 填空题

过P(2,1)作直线L与x轴正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,设∠BAO=2α(O为坐标原点),当△AOB的周长最小时,cotα=______.

答案

由题意,△AOB的周长可表示为OA+OB+PA+PB=2+cot2α+1+2tan2α+

1
sin2α
+
2
cos2α

令tan2α=t,则周长为y=3+

1
t
+2t+
t2+1
t
+ 2
t2+1

y/=-

1
t2
+2-
1
t2
t2+1
+
2t
t2+1

令y′=0,可得t=

3
4

∵函数在区间(0,

3
4
)上单调减,在(
3
4
,+∞)上单调增,

∴函数在t=

3
4
时,取得极小值,且为最小值.

∴当tan2α=

3
4
时,周长最小

2 tanα
1-tan2α
=
3
4

tanα=

1
3

∴cotα=3

故答案为:3

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