问题
解答题
计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2，画面的宽与高的比为λ（λ＜1），画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈[
|
答案
设画面高为xcm，宽为λxcm，
则λx2=4840
设纸张面积为S，则有
S=（x+16）（λx+10）=λx2+（16λ+10）x+160，
将x=
代入上式得22 10 λ
S=5000+44
(810
+λ
)5 λ
当8
=λ
，即λ=5 λ
(5 8
＜1)时，5 8
S取得最小值，
此时高：x=
=88cm，4840 λ
宽：λx=
×88=55cm5 8
如果λ∈[
，2 3
]，3 4
可设
≤λ1＜λ2≤2 3
，3 4
则由S的表达式得
S（λ1）-S（λ2）
=44
(810
+λ1
-85 λ1
-λ2
)5 λ2
=44
(10
-λ1
)(8-λ2
)5 λ11λ2
由于
≥λ1λ2
＞2 3
，故8-5 8
＞05 λ1λ2
因此S（λ1）-S（λ2）＜0，
所以S（λ）在区间[
，2 3
]内单调递增．3 4
从而，对于λ∈[
，2 3
]，3 4
当λ=
时，S（λ）取得最小值2 3
答：画面高为88cm、宽为55cm时，
所用纸张面积最小；
如果要求λ∈[
，2 3
]，当λ=3 4
时，2 3
所用纸张面积最小．