试证：不论正数a，b，c是等差数列还是等比数列，当n＞1，n∈N且a

问题解答题

试证：不论正数a，b，c是等差数列还是等比数列，当n＞1，n∈N且a，b，c互不相等时，都有aⁿ+cⁿ＞2bⁿ．（n∈N）．

答案

证明（1）设a、b、c为等比数列，a=

，c=bq（q＞0且q≠1）

∴aⁿ+cⁿ=

+bⁿqⁿ=bⁿ（

+qⁿ）＞2b^{n
（2）设a、b、c为等差数列，
则2b=a+c猜想
an+cn
2
＞(a+c
2
)n（n≥2且n∈N^*）
下面用数学归纳法证明
①当n=2时，由2（a²+c²）＞（a+c）²，∴
a2+c2
2
＞(a+c
2
)2
②设n=k时成立，即
ak+ck
2
＞(a+c
2
)k．
则当n=k+1时，
ak+1+ck+1
2
=1
4
（a^k+1+c^k+1+a^k+1+c^k+1）＞1
4（a^k+1+c^k+1+a^k•c+c^k•a）=1
4（a^k+c^k）（a+c）
＞（
a+b
2
）^k•（a+b
2）=（a+b
2）^k+1
也就是说，等式对n=k+1也成立
由①②知，aⁿ+cⁿ＞2bⁿ对一切自然数n均成立}