试证：不论正数a，b，c是等差数列还是等比数列，当n＞1，n∈N且a_爱下问搜题

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问题解答题

试证：不论正数a，b，c是等差数列还是等比数列，当n＞1，n∈N且a，b，c互不相等时，都有aⁿ+cⁿ＞2bⁿ．（n∈N）．

答案

证明（1）设a、b、c为等比数列，a=

b

q

，c=bq（q＞0且q≠1）

∴aⁿ+cⁿ=

bn

qn

+bⁿqⁿ=bⁿ（

1

qn

+qⁿ）＞2b^{n
（2）设a、b、c为等差数列，
则2b=a+c猜想
an+cn
2
＞(a+c
2
)n（n≥2且n∈N^*）
下面用数学归纳法证明
①当n=2时，由2（a²+c²）＞（a+c）²，∴
a2+c2
2
＞(a+c
2
)2
②设n=k时成立，即
ak+ck
2
＞(a+c
2
)k．
则当n=k+1时，
ak+1+ck+1
2
=1
4
（a^k+1+c^k+1+a^k+1+c^k+1）＞1
4（a^k+1+c^k+1+a^k•c+c^k•a）=1
4（a^k+c^k）（a+c）
＞（
a+b
2
）^k•（a+b
2）=（a+b
2）^k+1
也就是说，等式对n=k+1也成立
由①②知，aⁿ+cⁿ＞2bⁿ对一切自然数n均成立}

阅读理解与欣赏

阅读文章，回答问题。

神奇的长寿巨树

　　①在地球上的生物中，存活时间很长的，要算是一些植物了，它们有的可生长好几千年。
　　②在美国加利福尼亚州的霍伊德山上生长着一裸长寿古松树，其树皮已脱落，白花花的木质部显露出来，看上去像枯死一般，然而却枝叶繁茂，生机盎然，这种树的拉丁名就是长寿树之意。在加州的一座山上也发现了名为长寿的松树，从其年转利定，该树树龄约5100岁，也就是说在古埃及建造金字塔时，这裸树就在地球上存在了。另外，在耶稣的诞生之地（今巴勒斯坦一带）也有寿命长达3000岁的树木。
　　③墨西哥的奥阿哈卡附近的教堂旁有一棵巨大的松树，1982年浏童时，在距地面1．5米处的树干周长为35．8米，据植物学家们估计这裸树约有10000岁。
　　④18世纪后期，意大利的西西里岛有一裸橄揽树，树干周长有57．9米。同时，生长在南非北部的猴面包树有的树干周长能达50米。
　　⑤北美红松从美国俄勒冈到南部加州高约700到1000米的山地上均有生长。1996年测定，最高的一棵高达112米。这种高达100多米的巨大的北美红松树被称为世界上最高的裸子植物。
　　⑥美国塞科亚国家公园里有种巨杉，这种巨杉树龄可达2000-4000年，该公园中，有一裸被称为希阿曼 * * 的树，1989年的高度为83．83米，从地表1．4米处测树干周长为31．3米，据估算，这裸 * * 巨衫总重童达1000吨，也可算是世界上最重的树。
　　⑦1994年，在距澳大利亚的悉尼150公里的沃来米国家公园中，人们发现了一种沃来米松，这种树的树龄在150岁左右，高约40米，人们曾在迄今约1亿年以前的白垩纪地层中发现过这种沃来米松的化石，所以视这种植物为活化石。
　　⑧世上长寿的巨树这么多，人们也许会问：这些巨树的年龄是怎样判断出来的呢？
　　⑨探明树龄，通常是采用计算树的年轮和碳同位素测定的方法。然而，在多少年来气候并未发生什么变化的区域，由于树干连续不断生长，不会产生明显的年轮，而树龄变古老时也不会再产生年轮。如果要计算树的年轮，用碳同位素进行测定，采集活着的树最古老的部分的标本是最理想的手段，但这也是一种较野蛮的方法。因为这样采集标本，树木有枯死的可能，但目前这种方法仍在使用。也就是说，目前还没有一种更科学、更完美的方法来测定树龄。
　　⑩神奇的长寿巨树肯定还有很多，肯定还有人们未知晓的巨大树木在地球的某地存在。我们相信，随着人类开发的深入，随着科学技术的进一步发展，那些人所未见的世界上最长寿的树，世界上最古老的树，甚至那些可能从恐龙时代就残存下来的树木，以后都有可能被发现。
1．通读全文，请用简洁的语言概括本文的主要内容。
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2．文章的题目是“神奇的长寿巨树”，作者在第⑦段中却写了一种只有150岁左右，高约40米的沃来米松。试根据自己的理解谈谈“沃来米松”能否算是一种长寿巨树，并说明理由。
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3．阅读第②一⑥段文字，请仿照下面表格中的示例，将表格内容填写完整。

分类	数的名称	生长地域	数据说明
年龄最大的树	松树	墨西哥的奥啊哈卡	约1000岁
	橄榄树	意大利的西西里岛
	北美红松	美国俄勒冈到南部加州
	* * 巨杉	美国赛科亚国家公园

4．说明文注重科学性，用词要准确、严谨，而本文第⑧段文字中则写“据植物学家们估计这棵树约有10000岁。”第⑥段文字中又写了“据估算，这棵 * * 巨衫总重量达1000吨，也可算是世界上最重的树。”这些句子中用了“估计”“约”“据估算”“可算”等表示估计、揣测的词语，这与用词准确的要求是否矛盾？试说说理由。
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5．第⑨段文字中提到，“目前还没有一种更科学、更完美的方法来测定树龄。”请根据对本段内容的理解，谈谈这里所说的“更科学、更完美的方法”应该是一种什么样的方法。
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问答题简答题

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