问题
解答题
已知函数f（x）=x2+
（1）求函数f（x）的单调区间； （2）当a=
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答案
（1）f′（x）=2x-
=2a x2
…（1分）2x3-2a x2
①当a≤0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调递增； …（3分）
②当a＞0时，当0＜x＜
时，f′（x）＜0，函数在（0，3 a
）上单调递减；3 a
当x＞
时，f′（x）＞0，函数在[3 a
，+∞）上单调递增．…（5分）3 a
综上可知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，递增区间为（0，∞）；
当a＞0时，函数f（x）单调递减区间为（0，
）；单调递增区间为[3 a
，+∞）．…（6分）3 a
（2）当a=
时，f（x）=x2+1 2
（x＞0），此时f′（x）=2x-1 x
，…（7分）1 x2
=f(x2)-f(x1) x2-x1
=(x22+
)-(x12+1 x2
)1 x1 x2-x1
=（x2+x1）-(x2-x1)[(x2+x1)-
]1 x1x2 x2-x1
，1 x1x2
从而原等式为2x0-
=（x2+x1）-1 x02
．…（8分）1 x1x2
由题意可得x0是方程2x-
-（x2+x1）+1 x2
=0的根，…（9分）1 x1x2
令g（x）=2x-
-（x2+x1）+1 x2
，1 x1x2
g（x1）=2x1-
+1 x12
-x1-x2=（x1-x2）-1 x1x2
=（x1-x2）（1+x2-x1 x12x2
）＜0，…（11分）1 x12x2
g（x2）=2x2-
+1 x22
-x1-x2=（x2-x1）-1 x1x2
=（x2-x1）（1+x1-x2 x22x1
）＞0，…（12分）1 x1x22
g（x1）•g（x2）＜0，由零点的存在性定理，可知：
∴x1＜x0＜x2．…（14分）