已知函数f(x)=x2+
(1)求函数f(x)的单调区间; (2)当a=
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(1)f′(x)=2x-
=2a x2
…(1分)2x3-2a x2
①当a≤0时,f′(x)>0,函数在(0,+∞)上单调递增; …(3分)
②当a>0时,当0<x<
时,f′(x)<0,函数在(0,3 a
)上单调递减;3 a
当x>
时,f′(x)>0,函数在[3 a
,+∞)上单调递增.…(5分)3 a
综上可知,当a≤0时,函数f(x)单调递增,递增区间为(0,∞);
当a>0时,函数f(x)单调递减区间为(0,
);单调递增区间为[3 a
,+∞).…(6分)3 a
(2)当a=
时,f(x)=x2+1 2
(x>0),此时f′(x)=2x-1 x
,…(7分)1 x2
=f(x2)-f(x1) x2-x1
=(x22+
)-(x12+1 x2
)1 x1 x2-x1
=(x2+x1)-(x2-x1)[(x2+x1)-
]1 x1x2 x2-x1
,1 x1x2
从而原等式为2x0-
=(x2+x1)-1 x02
.…(8分)1 x1x2
由题意可得x0是方程2x-
-(x2+x1)+1 x2
=0的根,…(9分)1 x1x2
令g(x)=2x-
-(x2+x1)+1 x2
,1 x1x2
g(x1)=2x1-
+1 x12
-x1-x2=(x1-x2)-1 x1x2
=(x1-x2)(1+x2-x1 x12x2
)<0,…(11分)1 x12x2
g(x2)=2x2-
+1 x22
-x1-x2=(x2-x1)-1 x1x2
=(x2-x1)(1+x1-x2 x22x1
)>0,…(12分)1 x1x22
g(x1)•g(x2)<0,由零点的存在性定理,可知:
∴x1<x0<x2.…(14分)