问题 解答题
已知函数f(x)=x2+
2a
x
(x>0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a=
1
2
时,若P(x1,f(x1)),Q(x2f(x2))(0<x1<x2)是函数图象上的两点,且存在实数x0>0,使得f′(x0)=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
.证明:x1<x0<x2
答案

(1)f′(x)=2x-

2a
x2
=
2x3-2a
x2
                                        …(1分)

①当a≤0时,f′(x)>0,函数在(0,+∞)上单调递增;                        …(3分)

②当a>0时,当0<x<

3a
时,f′(x)<0,函数在(0,
3a
)上单调递减;

当x>

3a
时,f′(x)>0,函数在[
3a
,+∞)上单调递增.…(5分)

综上可知,当a≤0时,函数f(x)单调递增,递增区间为(0,∞);

当a>0时,函数f(x)单调递减区间为(0,

3a
);单调递增区间为[
3a
,+∞).…(6分)

(2)当a=

1
2
时,f(x)=x2+
1
x
(x>0),此时f′(x)=2x-
1
x2
,…(7分)

f(x2)-f(x1)
x2-x1
=
(x22+
1
x2
)-(x12+
1
x1
)
x2-x1
=
(x2-x1)[(x2+x1)-
1
x1x2
]
x2-x1
=(x2+x1)-
1
x1x2

从而原等式为2x0-

1
x02
=(x2+x1)-
1
x1x2
.…(8分)

由题意可得x0是方程2x-

1
x2
-(x2+x1)+
1
x1x2
=0的根,…(9分)

令g(x)=2x-

1
x2
-(x2+x1)+
1
x1x2

g(x1)=2x1-

1
x12
+
1
x1x2
-x1-x2=(x1-x2)-
x2-x1
x12x2
=(x1-x2)(1+
1
x12x2
)<0,…(11分)

g(x2)=2x2-

1
x22
+
1
x1x2
-x1-x2=(x2-x1)-
x1-x2
x22x1
=(x2-x1)(1+
1
x1x22
)>0,…(12分)

g(x1)•g(x2)<0,由零点的存在性定理,可知:

∴x1<x0<x2.…(14分)

多项选择题
单项选择题