解：设，

∴方程根的个数应是曲线与直线的交点个数，

由下图可见：

当a+1＞4时，有两个交点；当a+1=4时，有3个交点；当0＜a+1＜4时，有4个交点；

当a+1=0时，有2个交点，当a+1＜0时，无交点；

因此所求的实根个数为：a＜-1，0个；a=-1或a＞3时，2个；a=3时，3个；-1＜a＜3时，4个；

∴当a＜-1时函数无零点；a=-1或a＞3时有两个零点；a=3时有三个零点；-1＜a＜3时有四个零点．