问题
解答题
（1）设x是正实数，求证：（x+1）（x2+1）（x3+1）≥8x3；
（2）若x∈R，不等式（x+1）（x2+1）（x3+1）≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．
答案
证明：（1）∵x是正实数，由均值不等式知x+1≥2
，x
1+x2≥2x，
x3+1≥2
，x3
∴（x+1）（x2+1）（x3+1）≥2
•2x•2x
=8x3（当且仅当x=1时等号成立）；x3
故（x+1）（x2+1）（x3+1）≥8x3；
（2）若x∈R，不等式（x+1）（x2+1）（x3+1）≥8x3仍然成立，
当x＞0时，由（1）知不等式成立；
当x≤0时，8x3≤0，
∵（x3+1）=（x+1）（x2-x+1）
∴（x+1）（x2+1）（x3+1）=（x+1）2（x2+1）（x2-x+1）
=（x+1）2（x2+1）[（x-
）2+1 2
]≥0，3 4
综上可知，此时不等式仍然成立．
