问题 解答题

(1)设x是正实数,求证:(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3

(2)若x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3是否仍然成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请举出一个使它不成立的x的值.

答案

证明:(1)∵x是正实数,由均值不等式知x+1≥2

x

1+x2≥2x,

x3+1≥2

x3

∴(x+1)(x2+1)(x3+1)≥2

x
•2x•2
x3
=8x3(当且仅当x=1时等号成立);

故(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3

(2)若x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3仍然成立,

当x>0时,由(1)知不等式成立;

当x≤0时,8x3≤0,

∵(x3+1)=(x+1)(x2-x+1)

∴(x+1)(x2+1)(x3+1)=(x+1)2(x2+1)(x2-x+1)

=(x+1)2(x2+1)[(x-

1
2
2+
3
4
]≥0,

综上可知,此时不等式仍然成立.

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