问题
解答题
(1)设x是正实数,求证:(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3;
(2)若x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3是否仍然成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请举出一个使它不成立的x的值.
答案
证明:(1)∵x是正实数,由均值不等式知x+1≥2
,x
1+x2≥2x,
x3+1≥2
,x3
∴(x+1)(x2+1)(x3+1)≥2
•2x•2x
=8x3(当且仅当x=1时等号成立);x3
故(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3;
(2)若x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3仍然成立,
当x>0时,由(1)知不等式成立;
当x≤0时,8x3≤0,
∵(x3+1)=(x+1)(x2-x+1)
∴(x+1)(x2+1)(x3+1)=(x+1)2(x2+1)(x2-x+1)
=(x+1)2(x2+1)[(x-
)2+1 2
]≥0,3 4
综上可知,此时不等式仍然成立.