∵直线ax+y-b=0（ab＞0），始终平分圆x²+y²+2x-4y=0的周长，

∴直线ax+y-b=0经过圆x²+y²+2x-4y=0的圆心（-1，2），

∴a+b=2，

∴

1

a

+

4

b

=

1

2

（

1

a

+

4

b

）（a+b）=

1

2

[5+

b

a

+

4a

b

]

∵ab＞0，∴

b

a

+

4a

b

≥2

b a × 4a b

=4

当且仅当

b

a

=

4a

b

时，

b

a

+

4a

b

的最小值为4

∴

1

a

+

4

b

的最小值是

9

2

故选A．