设

xy+2yz

x2+y2+z2

≤

1

a

恒成立，此不等式可化为

x²+y²+z²-axy-2ayz≥0

即(x-

ay

2

)2+(z-ay)2+(1-

5

4

a2)y2≥0恒成立

由于(x-

ay

2

)2+(z-ay)2≥ 0，

故(1-

5

4

a2)y2≥0

于是有a≤

2

5

故

xy+2yz

x2+y2+z2

≤

5

2

恒成立

容易验证当x=

y

5

且z=

2y

5

时取最大值

5

2

故选A