问题
解答题
| 设f（x）=|lgx|，a，b为实数，且0＜a＜b． （1）求方程f（x）=1的解； （2）若a，b满足f(a)=f(b)=2f(
（3）在（2）的条件下，求证：由关系式f(b)=2f(
|
答案
（1）由f（x）=1得，lgx=±1，
所以x=10，或x=
．…（3分）1 10
（2）证明：结合函数图象，由f（a）=f（b），
知a∈（0，1），b∈（1，+∞），…（4分）
从而-lga=lgb，从而ab=-1．…（5分）
又
=a+b 2
，…（6分）
+b1 b 2
令ϕ(b)=
+b(b∈(1，+∞)．…（7分）1 b
任取1＜b1＜b2，
∵∅（b1）-∅（b2）=（b1-b2）（1-
）＜0，1 b1b2
∴∅（b1）＜∅（b2），
∴∅（b）在（1，+∞）上为增函数．
∴∅（b）＞∅（1）=2．…（9分）
所以
＞1．…（10分）a+b 2
（3）由b=（
）2，a+b 2
得4b=a2+b2+2ab，…（11分）
+b2+2-4b=0，1 b2
令g（b）=
+b2+2-4b，…（12分）1 b2
因为g（3）＜0，g（4）＞0，根据零点存在性定理知，…（13分）
函数g（b）在（3，4）内一定存在零点，
即方程
+b2+2-4b=0存在3＜b＜4的根．…（14分）1 b2