问题
解答题
已知函数f（x）=-a2x2+ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）我们称使f（x）=0成立的x为函数的零点．证明：当a=1时，函数f（x）只有一个零点；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．
答案
（Ⅰ）证明：∵f′(x)=-
(x＞0)f（x）在（0，1）为增函数，(2x+1)(x-1) x
在（1，+∞）上为减函数．∴f（x）的最大值为f（1）=0，
∴f（x）在（0，+∞）只有一个零点．（4分）
（Ⅱ）∵f′(x)=-
=-2a2x2-ax-1 x (2ax+1)(ax-1) x
①当a=0时，不成立．
②当a＞0时，f'（x）＜0，得x＞
，∴1 a
≤1，a≥1．1 a
③当a＜0时，f'（x）＜0，得x＞-
，∴-1 2a
≤1，a≤-1 2a 1 2
综上得：a∈(-∞，-
]∪[1，+∞)（12分）1 2