问题
解答题
已知函数f（x）=（x2-mx+m）•ex（m∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）存在零点，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当m＜0时，求函数f（x）的单调区间；并确定此时f（x）是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果不存在，请说明理由．
答案
（Ⅰ）设f（x）有零点，即函数g（x）=x2-mx+m有零点，
所以m2-4m≥0，解得m≥4或m≤0．
（Ⅱ）f'（x）=（2x-m）•ex+（x2-mx+m）•ex=x（x-m+2）ex，
令f'（x）=0，得x=0或x=m-2，
因为m＜0时，所以m-2＜0，
当x∈（-∞，m-2）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（m-2，0）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
此时，f（x）存在最小值．f（x）的极小值为f（0）=m＜0．
根据f（x）的单调性，f（x）在区间（m-2，+∞）上的最小值为m，
解f（x）=0，得f（x）的零点为x1=
和x2=m- m2-4m 2
，m+ m2-4m 2
结合f（x）=（x2-mx+m）•ex，
可得在区间（-∞，x1）和（x2，+∞）上，f（x）＞0
因为m＜0，所以x1＜0＜x2，
并且x1-(m-2)=
-m+2=m- m2-4m 2
＞-m+4- m2-4m 2 -m+4- m2-4m+4 2
=
=-m+4-|m-2| 2
=1＞0，-m+4-(2-m) 2
即x1＞m-2，
综上，在区间（-∞，x1）和（x2，+∞）上，f（x）＞0，f（x）在区间（m-2，+∞）上的最小值为m，m＜0，
所以，当m＜0时f（x）存在最小值，最小值为m．