问题
解答题
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，向量
（ I）确定角B的大小； （ II）若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD=1，设BC=x，BA=y，试确定y关于x的函数式，并求边AC长的取值范围． |
答案
（ I）∵
⊥m
，∴（2a+c）cosB+bcosC=0，n
在△ABC中，由正弦定理得：
=a sinA
=b sinB
=k≠0，c sinC
∴a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，代入得
k[（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC]=0，∴2sinAcosB+sin（B+C）=0，即sinA（2cosB+1）=0．
∵A，B∈（0，π），∴sinA≠0，
∴cosB=-
，解得B=1 2
．2π 3
（ II）∵S△ABC=S△ABD+S△BCD，S△ABC=
xysin1 2
=2π 3
xy，S△ABD=3 4
yisn1 2
=π 3
y，S△BCD=3 4
xsin1 2
=π 3
x，3 4
∴xy=x+y，
∴y=
，x∈(1，+∞)．x x-1
在△ABC中，由余弦定理得：
AC2=x2+y2-2xycos
=x2+y2+xy=（x+y）2-xy=（x+y）2-（x+y）=(x+y-2π 3
)2-1 2
．1 4
∵x+y=xy≤
，x＞0，y＞0，∴x+y≥4，(x+y)2 4
∴AC2≥(4-
)2-1 2
，∴AC≥21 4
．3
∴AC的取值范围是：AC∈[2
，+∞)．3