问题
解答题
已知f（x）=a2x-
（1）可以证明：定理“若a、b∈R*，则
（2）若f（x）＞0在（0，2）上恒成立，且函数f（x）的最大值大于1，求实数a的取值范围，并由此猜测y=f（x）的单调性（无需证明）； （3）对满足（2）的条件的一个常数a，设x=x1时，f（x）取得最大值．试构造一个定义在D={x|x＞-2，且x≠4k-2，k∈N}上的函数g（x），使当x∈（-2，2）时，g（x）=f（x），当x∈D时，g（x）取得最大值的自变量的值构成以x1为首项的等差数列． |
答案
（1）若a、b、c∈R+，则
≥a+b+c 3
（当且仅当a=b=c时取等号）．3 abc
（2）f（x）=ax2-
x3=x(a2-1 2
x2)＞0在（0，2）上恒成立，1 2
即a2＞
x2在（0，2）上恒成立，1 2
∵
x2∈（0，2），∴a2≥2，即a≥1 2
，2
又∵[f(x)]2=x2(a2-
x2)(a2-1 2
x2)≤[1 2
]3=(x2+(a2-
x2)+(a2-1 2
x2)1 2 3
)32a2 3
∴x2=a2-
x2，即x=1 2
a时，6 3
fmax=
a3＞1⇒a3＞2 6 9
=2 6 9
=(3 6 4
)3⇒a＞6 2
，6 2
又∵x=
a∈（0，2），∴a∈(0，6 3
)．综上，得a∈[6
，2
)．6
易知，f（x）是奇函数，∵x=
a时，函数有最大值，∴x=-6 3
a时，函数有最小值．6 3
故猜测：x∈(-2，-
a]∪ [6 3
a，2)时，f（x）单调递减；x∈[-6 3
a，6 3
a]时，f（x）单调递增．6 3
（3）依题意，只需构造以4为周期的周期函数即可．
如对x∈（4k-2，4k+2），k∈N，x-4k∈（-2，2），此时g（x）=g（x-4k）=f（x-4k），
即g（x）=a2（x-4k）-
(x- 4k)3，x∈（4k-2，4k+2）．k∈N．1 2
