问题
解答题
设函数f(x)=
（Ⅰ）若函数f（x）在x=3处取得极小值是
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间； （Ⅲ）若函数f（x）在（-1，1）上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围． |
答案
（I）∵f′（x）=x2-2（a+1）x+4a（3分）
∴f′（3）=9-6（a+1）+4a=0得 a=
（4分）3 2
∵f(3)=
解得：b=-4（5分）1 2
（II）∵f′（x）=x2-2（a+1）x+4a=（x-2a）（x-2）
令f′（x）=0，即x=2a或x=2．（7分）
当a＞1时，2a＞2，∴f′（x）＞0时，x＞2a或x＜2，即f（x）的单调递增区间为（-∞，2）和（2a，+∞）．（8分）
当a=1时，f′（x）=（x-2）2≥0，即f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）．（9分）
当a＜1时，2a＜2，∴f′（x）＞0时，x＜2a或x＞2，即f（x）的单调递增区间为（-∞，2a）和（2，+∞）．（10分）
（Ⅲ）由题意可得：
（12分）a＜1 f′(-1)•f′(1)＜0
∴（2a-1）（2a+1）＜0
∴-
＜a＜1 2 1 2
∴a的取值范围(-
，1 2
)（14分）1 2