问题
解答题
已知函数f（x）=
（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间； （2）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围． |
答案
（I）由题意得，f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f′（x）=-
+2 x2
，∴f′（1）=-2+a，a x
∵直线y=x+2的斜率为1，∴-2+a=-1，解得a=1，
所以f（x）=
+lnx-2，∴f′（x）=-2 x
+2 x2
=1 x
，x-2 x2
由f′（x）＞0解得x＞2；由f′（x）＜0解得0＜x＜2．
∴f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）
（II）依题得g（x）=
+lnx+x-2-b，则g′(x)=-2 x
+2 x2
+1=1 x
．x2+x-2 x2
由g′（x）＞0解得x＞1；由g′（x）＜0解得0＜x＜1．
∴函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
又∵函数g（x）在区间[
，e]上有两个零点，∴1 e
，g(
)≥01 e g(e)≥0 g(1)＜0
解得1＜b≤
+e-1，∴b的取值范围是（1，2 e
+e-1]．2 e
