∵函数f（x）=4sin（πx）-x，函数f（x）在区间[k-

1

2

，  k+

1

2

](k∈Z)上存在零点

∵f（k-

1

2

）=4sin（kπ-

1

2

π）-（k-

1

2

）=4coskπ-k+

1

2

，f（k+

1

2

）=4sin（kπ+

1

2

π）-（k+

1

2

）=4coskπ-(k+

1

2

)

由函数的零点判定定理可知，f（k-

1

2

）•f（k+

1

2

）≤0

当k为偶数时，可得（

9

2

-k）（

7

2

-k）≤0，解不等式可得

7

2

≤k≤

9

2

当k奇数时，可得(k+

7

2

)(k+

9

2

)≤0，解不等式可得-

9

2

≤k≤-

7

2

∵k∈Z

∴k的最小值为-4

故答案为：-4