（Ⅰ）证明：①f（x）=x⇔x³+ax-1=0．…（1分）

令h（x）=x³+ax-1，则h（0）=-1＜0，h(

1

a

)=

1

a3

＞0，

∴h(0)•h(

1

a

)＜0．…（2分）

又h′（x）=3x²+a＞0，∴h（x）=x³+ax-1是R上的增函数．…（3分）

故h（x）=x³+ax-1在区间(0，

1

a

)上有唯一零点，

即存在唯一实数x0∈(0，

1

a

)使f（x₀）=x₀．…（4分）

（Ⅱ）（i）当n=1时，x₁=0，x2=f(x1)=f(0)=

1

a

，由①知x0∈(0，

1

a

)，即x₁＜x₀＜x₂成立；…（5分）

设当n=k（k≥2）时，x_2k-1＜x₀＜x_2k，注意到f(x)=

1

x2+a

在（0，+∞）上是减函数，且x_k＞0，

故有：f（x_2k-1）＞f（x₀）＞f（x_2k），即x_2k＞x₀＞x_2k+1

∴f（x_2k）＜f（x₀）＜f（x_2k+1），…（7分）

即x_2k+1＜x₀＜x_2k+2．这就是说，n=k+1时，结论也成立．

故对任意正整数n都有：x_2n-1＜x₀＜x_2n．…（8分）

（ii）当a=2时，由x₁=0得：x2=f(x1)=f(0)=

1

2

，|x2-x1|=

1

2

…（9分）

当k=1时，|x3-x2|=|

1

x 22 +2

-

1

x 21 +2

|=

| x 22 - x 21 |

( x 22 +2)( x 21 +2)

＜

|x2-x1||x2+x1|

4

=

1

2

•

1

4

|x2-x1|=(

1

4

)2…（10分）

当k≥2时，∵0＜xk≤

1

2

，

∴|xk+1-xk|=|

1

x 2k +2

-

1

x 2k-1 +2

|=

| x 2k - x 2k-1 |

( x 2k +2)( x 2k-1 +2)

＜

|xk-xk-1|| x  k +xk-1|

4

＜

|xk-xk-1|

4

＜(

1

4

)2•|xk-1-xk-2|＜…＜(

1

4

)k-2•|x3-x2|＜(

1

4

)k…（12分）

对∀m∈N^*，

|x_m+k-x_k|=|（x_m+k-x_m+k-1）+（x_m+k-1-x_m+k-2）+…+（x_k+1-x_k）|≤|x_m+k-x_m+k-1|+|x_m+k-1-x_m+k-2|+…+|x_k+1-x_k|

…（13分）≤(

1

4m-1

+

1

4m-2

+…+

1

42

+

1

4

+1)|xk+1-xk|

=

1- 1 4m

1- 1 4

|xk+1-xk|=

4

3

•(1-

1

4m

)•|xk+1-xk|＜

4

3

•

1

4k

=

1

3•4k-1

…（14分）