问题
解答题
从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t．问：
（1）求长方体的容积V关于x的函数表达式；
（2）x取何值时，长方体的容积V有最大值？
答案
（1）长方体的底面正方形的边长为2a-2x，高为x，所以，容积V=4（x-a）2x，
由
≤t，得 0＜x≤x 2a-2x
，2ta 1+2t
（2）由均值不等式知V=2（a-x）（a-x）（2x）≤2(
)3=a-x+a-x+2x 3
，16a3 27
当a-x=2x，即x=
时等号成立．a 3
①当
≤a 3
，即t≥2ta 1+2t
，Vmax=1 4
；16a3 27
②当
＞a 3
，即0＜t＜2ta 1+2t
时，V′(x)=12(x-1 4
)2-2a 3
，4a2 3
则V′（x）在(0，
)上单调递减，a 3
∴V′(x)≥V′(
)＞V′(2ta 1+2t
)=0，a 3
∴V（x）在(0，
]单调递增，2ta 1+2t
∴V(x)max=V(
)=2ta 1+2t 8ta3 (1+2t)3
总之，若0＜t＜
，则当x=1 4
时，Vmax=2ta 1+2t
；8ta3 (1+2t)3
若t≥
，则当x=1 4
时，Vmax=a 3
．16a3 27