问题 解答题

设函数f(x)=|x2-4x-5|.

(1)在区间[-2,6]上画出函数f(x)的图象;

(2)设集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2]∪[0,4]∪[6,+∞).试判断集合A和B之间的关系(要写出判断过程);

(3)当k>2时,求证:在区间[-1,5]上,y=kx+3k的图象位于函数f(x)图象的上方.

答案

(1)设-2≤x≤6,当x2-4x-5≥0时,

即6≥x≥5或-1≥x≥-2时,f(x)=x2-4x-5=(x-2)2-9

当x2-4x-5<0时,即-1<x<5时,f(x)=-(x2-4x-5)=-(x-2)2+9

故作图如下.

(2)方程f(x)=5的解分别是2-

14
,0,4

2+

14
,由于f(x)在(-∞,-1]和[2,5]上单调递减,

在[-1,2]和[5,+∞)上单调递增,

A=(-∞,2-

14
]∪[0,4]∪[2+
14
,+∞).

由于2+

14
<6,2-
14
>-2

∴A⊂B.

(3)当x∈[-1,5]时,f(x)=-x2+4x+5.

g(x)=k(x+3)-(-x2+4x+5)=x2+(k-4)x+(3k-5)=(x-

4-k
2
)2-
k2-20k+36
4

∵k>2,∴

4-k
2
<1.又-1≤x≤5,

①当-1≤

4-k
2
<1,即2<k≤6时,

x=

4-k
2
,g(x)min=-
k2-20k+36
4
=-
1
4
[(k-10)2-64]

∵16≤(k-10)2<64,

∴(k-10)2-64<0,则g(x)min>0.

②当

4-k
2
<-1,即k>6时,取x=-1,g(x)min=2k>0.

由①、②可知,当k>2时,g(x)>0,x∈[-1,5].

因此,在区间[-1,5]上,y=k(x+3)的图象位于函数f(x)图象的上方.

多项选择题
判断题