问题 填空题
定义[a,b,c]为函数y=ax2+bx+c的特征数,下面给出特征数为[2m,1-m,-1-m]的函数的一些结论:
①当m=-1时,函数图象的顶点坐标是(
1
2
,4); 
②当m>0时,函数图象截x轴所得的线段长度大于
3
2

③当m<0时,函数在x<
1
4
时,y随x的增大而增大;
④当m≠0时,函数图象经过x轴上一个定点.  
其中正确的结论有______.(只需填写序号)
答案

因为函数y=ax2+bx+c的特征数为[2m,1-m,-1-m];

①、当m=-1时,y=-2x2+2x=-2(x-

1
2
2+
1
2
,顶点坐标是(
1
2
1
2
);此结论错误;

②、当m>0时,令y=0,有2mx2+(1-m)x+(-1-m)=0,解得:x1=1,x2=-

1
2
-
1
2m

|x2-x1|=

3
2
+
1
2m
3
2
,所以当m>0时,函数图象截x轴所得的线段长度大于
3
2
,此结论正确;

③当m<0时,y=2mx2+(1-m)x+(-1-m) 是一个开口向下的抛物线,其对称轴是:

m-1
4m
,在对称轴的右边y随x的增大而减小.因为当m<0时,
m-1
4m
=
1
4
-
1
4m
1
4
,即对称轴在x=
1
4
右边,因此函数在x=
1
4
右边先递增到对称轴位置,再递减,此结论正确;

④当x=1时,y=2mx2+(1-m)x+(-1-m)=2m+(1-m)+(-1-m)=0 即对任意m,函数图象都经过点(1,0)那么同样的:当m=0时,函数图象都经过同一个点(1,0),当m≠0时,函数图象经过同一个点(1,0),故当m≠0时,函数图象经过x轴上一个定点此结论正确.

根据上面的分析,②③④都是正确的,①是错误的.

故答案为:②③④.

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