问题 解答题
过点A(0,a)作直线交圆M:(x-2)2+y2=1于点B、C,
(理)在BC上取一点P,使P点满足:
AB
AC
BP
PC
,(λ∈R)

(文)在线段BC取一点P,使点B、P、C的横坐标的倒数成等差数列
(1)求点P的轨迹方程;
(2)若(1)的轨迹交圆M于点R、S,求△MRS面积的最大值.
答案

(1)(理)令P(x,y),因为

AB
AC
BP
PC
,(λ∈R)

所以xB=λxC,x-xB=λ(xC-x)

x-xB
xC-x
=
xB
xC

x=

2xBxC
xB+xC

设过A所作的直线方程为y=kx+a,(显然k存在)

又由

y=kx+a
(x-2)2+y2=1
得(1+k2)x2+(2ak-4)x+a2+3=0

xB+xC=

4-2ak
1+k2
xBxC=
2a+3k
2-ak

代入①,得x=

a2+3
2-ak

y=kx+a=

2a+3k
2-ak

消去k,得所求轨迹为2x-ay-3=0,(在圆M内部)

(文)令P(x,y),因为点B、P、C的横坐标的倒数成等差数列

所以  

2
x
=
1
xB
+
1
xc
⇒x=
2xBxc
xB+xc
(以下同理)

(2)上述轨迹过为定点(

3
2
,0)的直线在圆M内部分

,由

2x-ay-3=0
(x-2)2+y2=1
得(a2+4)y2-2ay-3=0

|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2
=4
a2+3
(a2+4)2

S△MRS=

1
2
×
1
2
×4
a2+3
(a2+4)2
=
a2+3
(a2+4)2
=
1
(a2+3)+
1
(a2+3)
+2

令t=a2+3,则t≥3,而函数f(t)=t+

1
t
在t≥3时递增,

S△MRS

1
3+
1
3
+2
=
3
4

S△MRS|max=

3
4
,此时t=3,a=0,

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