问题
解答题
| 过点A（0，a）作直线交圆M：（x-2）2+y2=1于点B、C， （理）在BC上取一点P，使P点满足：
（文）在线段BC取一点P，使点B、P、C的横坐标的倒数成等差数列 （1）求点P的轨迹方程； （2）若（1）的轨迹交圆M于点R、S，求△MRS面积的最大值． |
答案
（1）（理）令P（x，y），因为
=λAB
，AC
=λBP
，(λ∈R)PC
所以xB=λxC，x-xB=λ（xC-x）
∴
=x-xB xC-x
，xB xC
∴x=
①2xBxC xB+xC
设过A所作的直线方程为y=kx+a，（显然k存在）
又由
得（1+k2）x2+（2ak-4）x+a2+3=0y=kx+a (x-2)2+y2=1
∴xB+xC=
，xBxC=4-2ak 1+k2 2a+3k 2-ak
代入①，得x=
，a2+3 2-ak
∴y=kx+a=2a+3k 2-ak
消去k，得所求轨迹为2x-ay-3=0，（在圆M内部）
（文）令P（x，y），因为点B、P、C的横坐标的倒数成等差数列
所以
=2 x
+1 xB
⇒x=1 xc
（以下同理）2xBxc xB+xc
（2）上述轨迹过为定点（
，0）的直线在圆M内部分3 2
，由
得（a2+4）y2-2ay-3=02x-ay-3=0 (x-2)2+y2=1
则|y1-y2|=
=4(y1+y2)2-4y1y2 a2+3 (a2+4)2
∴S△MRS=
×1 2
×41 2
=a2+3 (a2+4)2
=a2+3 (a2+4)2 1 (a2+3)+
+21 (a2+3)
令t=a2+3，则t≥3，而函数f(t)=t+
在t≥3时递增，1 t
∴S△MRS≤
=1 3+
+21 3
．3 4
∴S△MRS|max=
，此时t=3，a=0，3 4