问题
解答题
过点A(0,a)作直线交圆M:(x-2)2+y2=1于点B、C, (理)在BC上取一点P,使P点满足:
(文)在线段BC取一点P,使点B、P、C的横坐标的倒数成等差数列 (1)求点P的轨迹方程; (2)若(1)的轨迹交圆M于点R、S,求△MRS面积的最大值. |
答案
(1)(理)令P(x,y),因为
=λAB
,AC
=λBP
,(λ∈R)PC
所以xB=λxC,x-xB=λ(xC-x)
∴
=x-xB xC-x
,xB xC
∴x=
①2xBxC xB+xC
设过A所作的直线方程为y=kx+a,(显然k存在)
又由
得(1+k2)x2+(2ak-4)x+a2+3=0y=kx+a (x-2)2+y2=1
∴xB+xC=
,xBxC=4-2ak 1+k2 2a+3k 2-ak
代入①,得x=
,a2+3 2-ak
∴y=kx+a=2a+3k 2-ak
消去k,得所求轨迹为2x-ay-3=0,(在圆M内部)
(文)令P(x,y),因为点B、P、C的横坐标的倒数成等差数列
所以
=2 x
+1 xB
⇒x=1 xc
(以下同理)2xBxc xB+xc
(2)上述轨迹过为定点(
,0)的直线在圆M内部分3 2
,由
得(a2+4)y2-2ay-3=02x-ay-3=0 (x-2)2+y2=1
则|y1-y2|=
=4(y1+y2)2-4y1y2 a2+3 (a2+4)2
∴S△MRS=
×1 2
×41 2
=a2+3 (a2+4)2
=a2+3 (a2+4)2 1 (a2+3)+
+21 (a2+3)
令t=a2+3,则t≥3,而函数f(t)=t+
在t≥3时递增,1 t
∴S△MRS≤
=1 3+
+21 3
.3 4
∴S△MRS|max=
,此时t=3,a=0,3 4