问题
解答题
某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为
（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率； （Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ． |
答案
设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2；
“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2．
（Ⅰ）不需要补考就获得证书的事件为A1?B1，注意到A1与B1相互独立，
根据相互独立事件同时发生的概率
可得P(A1?B1)=P(A1)×P(B1)=
×2 3
=1 2
．1 3
即该考生不需要补考就获得证书的概率为
．1 3
（Ⅱ）由已知得，ξ=2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，
根据相互独立事件同时发生的概率
可得P(ξ=2)=P(A1?B1)+P(
?. A1
). A2
=
×2 3
+1 2
×1 3
=1 3
+1 3
=1 9
．4 9
P(ξ=3)=P(A1?
?B2)+P(A1?. B1
?. B1
)+P(. B2
?A2?B2). A1
=
×2 3
×1 2
+1 2
×2 3
×1 2
+1 2
×1 3
×2 3
=1 2
+1 6
+1 6
=1 9
，4 9
P(ξ=4)=P(
?A2?. A1
?B2)+P(. B2
?A2?. A1
?. B1
). B2
=
×1 3
×2 3
×1 2
+1 2
×1 3
×2 3
×1 2
=1 2
+1 18
=1 18
，1 9
∴Eξ=2×
+3×4 9
+4×4 9
=1 9
．8 3
即该考生参加考试次数的数学期望为
．8 3