问题
解答题
某次考试共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的；评分标准为：“每题只有一个选项是正确的，选对得5分，不选或选错得0分．”某考生每道题都给出一个答案，已确定有5道题的答案是正确的，而其余3道题中，有一道题可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断出一个选项是错误的，还有一道题因不了解题意而乱猜，试求该考生：
（Ⅰ）得40分的概率；
（Ⅱ）所得分数ξ的数学期望．
答案
（Ⅰ）某考生要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为
，有一道题目做对的概率为1 2
，有一道做对的概率为1 3
，1 4
所以得40分的概率为p=
×1 2
×1 3
=1 4
．…4分1 24
（Ⅱ）依题意，该考生得分的范围为{25，30，35，40}．
得25分是指做对了5题，其余3题都做错了，所以概率为p1=
×1 2
×2 3
=3 4
，1 4
得30分是指做对5题，其余3题只做对1题，所以概率为p2=
×1 2
×2 3
+3 4
×1 2
×1 3
+3 4
×1 2
×2 3
=1 4
，11 24
得35分是指做对5题，其余3题做对2题，所以概率为p3=
×1 2
×1 3
+3 4
×1 2
×2 3
+1 4
×1 2
×1 3
=1 4
，1 4
得40分是指做对8题，所以概率为p4=
×1 2
×1 3
=1 4
．1 24
得ξ的分布列为：
| ξ | 25 | 30 | 35 | 40 | ||||||||
| p |
|
|
|
|
| 1 |
| 4 |
| 11 |
| 24 |
| 1 |
| 24 |
| 730 |
| 24 |
| 365 |
| 12 |