由于y=

x2+1+c

x2+c

，若令t=

x2+c

，则y=t+

1

t

（1）当c=-1时，t=

x2-1

＞0

则y=

x2+1-1

x2-1

=t+

1

t

≥2

t• 1 t

=2

当且仅当t=

1

t

即x=±

2

时等号成立，

∴该函数的值域为[2，+∞）；

（2）当c≤1时，该函数的值域为[2，+∞）．理由如下：

y=t+

1

t

（t＞0），

∴y≥2

当且仅当t=

1

t

即x=±

1-c

时等号成立，

∴该函数的值域为[2，+∞）；

（3）证：由于y=t+

1

t

(t≥

c

)

则y-

1+c

c

=

t2+1

t

-

1+c

c

=

c t2+ c -t-ct

c •t

═

( c t-1)(t- c )

c •t

∵t≥

c

，∴t-

c

≥0

又由

c

t≥c＞1，∴

c

t-1＞0

∴y≥

1+c

c

（当且仅当x=0时等号成立）