问题 解答题

在某两个正数x,y之间,若插入一个正数a,使x,a,y成等比数列;若插入两个正数b,c,使x,b,c,y成等差数列,求证:(a+1)2≤(b+1)(c+1).

答案

∵x,a,y成等比数列

∴a2=xy

∵a>1

a=

xy

∵x,b,c,y成等差数列

∴b-x=c-b=y-c

即b=

2x+y
3
,c=
x+2y
3

∴(b+1)(c+1)=(

2x+y
3
+1)(
x+2y
3
+1
)=
2(x2+y2)+5xy+9x+9y+9
9

∵x>0,y>0

2(x2+y2)+5xy+9x+9y+9
9
2×(2xy)+5xy
9
+2
xy
+1=(
xy
+1)
2
=(a+1)2

即:(a+1)2≤(b+1)(c+1).

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