问题
解答题
在某两个正数x,y之间,若插入一个正数a,使x,a,y成等比数列;若插入两个正数b,c,使x,b,c,y成等差数列,求证:(a+1)2≤(b+1)(c+1).
答案
∵x,a,y成等比数列
∴a2=xy
∵a>1
∴a=xy
∵x,b,c,y成等差数列
∴b-x=c-b=y-c
即b=
,c=2x+y 3 x+2y 3
∴(b+1)(c+1)=(
+1)(2x+y 3
+1)=x+2y 3 2(x2+y2)+5xy+9x+9y+9 9
∵x>0,y>0
∴
≥2(x2+y2)+5xy+9x+9y+9 9
+22×(2xy)+5xy 9
+1=(xy
+1)2=(a+1)2xy
即:(a+1)2≤(b+1)(c+1).