问题
解答题
在某两个正数x，y之间，若插入一个正数a，使x，a，y成等比数列；若插入两个正数b，c，使x，b，c，y成等差数列，求证：（a+1）2≤（b+1）（c+1）．
答案
∵x，a，y成等比数列
∴a2=xy
∵a＞1
∴a=xy
∵x，b，c，y成等差数列
∴b-x=c-b=y-c
即b=
，c=2x+y 3 x+2y 3
∴（b+1）（c+1）=(
+1)（2x+y 3
+1）=x+2y 3 2(x2+y2)+5xy+9x+9y+9 9
∵x＞0，y＞0
∴
≥2(x2+y2)+5xy+9x+9y+9 9
+22×(2xy)+5xy 9
+1=(xy
+1)2=（a+1）2xy
即：（a+1）2≤（b+1）（c+1）．