问题
解答题
已知正数x、y满足xy=x+y+3．
（1）求xy的范围；
（2）求x+y的范围．
答案
（1）∵正数x、y满足x+y+3=xy，
∴xy=x+y+3≥3+2
，即xy-2xy
-3≥0，可以变形为（xy
-3）（xy
+1）≥0，xy
∴
≥3，即xy≥9，xy
当且仅当x=y=3时取等号，
∴xy的范围是[9，+∞）；
（2）∵x、y均为正数，
∴x+y≥2
，则xy≤(xy
)2，x+y 2
∴x+y+3=xy≤(
)2，即（x+y）2-4（x+y）-12≥0，x+y 2
化简可得，（x+y+2）（x+y-6）≥0，
∴x+y≥6，
当且仅当x=y=3时取等号，
∴x+y的范围是[6，+∞）．