问题
填空题
α和β是关于x的方程x2-（k-2）x+k2+3k+5=0的两个实根，则α2+β2的最大值为______．
答案
∵α和β是关于x的方程x2-（k-2）x+k2+3k+5=0的两个实根
∴α+β=k-2，αβ=k2+3k+5
∴α2+β2=（α+β）2-2αβ=（k-2）2-2（k2+3k+5）=-k2-10k-6=-（k+5）2+19
∵△=（k-2）2-4（k2+3k+5）=-3k2-16k-16≥0
∴-4≤k≤-
，4 3
∴k=-4时，α2+β2取得最大，最大值为18
故答案为：18．