∵f（x）=x³+x，

∴f（-x）=（-x）³+（-x）=-x³-x=-f（x），

∴函数f（x）=x³+x为奇函数；

又f′（x）=3x²+1＞0，

∴函数f（x）=x³+x为R上的单调递增函数．

∴f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立⇔f（msinθ）＞-f（1-m）=f（m-1）恒成立，

∴msinθ＞m-1（0＜θ＜

π

2

）恒成立⇔m（1-sinθ）＜1恒成立，

由0＜θ＜

π

2

知，0＜sinθ＜1，0＜1-sinθ＜1，

1

1-sinθ

＞1

由m＜

1

1-sinθ

恒成立知：m≤1．

∴实数m的取值范围是（-∞，1]．

故选A．