问题 解答题
已知a∈R,解不等式
x
x-1
>a+1.
答案

原不等式化为

-ax+(a+1)
x-1
>0①

(1)当a=0时,原不等式为

-1
x-1
<0⇒x>1.

在①中,分子中x的系数含有字母a,分类讨论就从这里引起.

(2)当a≠0时,原不等式化为

a(x-
a+1
a
)
x-1
<0.     ②

对于不等式②,分子中的系数a不能随意约去,因为根据不等式的性质,若给不等式两边同时乘以一个负数,不等式的方向要改变.

当a>0时,原不等式等价于

x-
a+1
a
x-1
<0.

由于

a+1
a
>1,可解得1<x<
a+1
a
.也可先确定两根x1,x2 (x1<x2),

然后直接写出解集.

当a<0时,

a(x-
a+1
a
)
x-1
<0等价于
x-
a+1
a
x-1
>0

a+1
a
=1+
1
a
<1可解得x
a+1
a
或x>1.

综上,当a=0时原不等式的解集为(1,+∞).

当a>0时,解集为(1,

a+1
a
)

当a<0时,解集为(-∞,

a+1
a
)∪(1,+∞).

单项选择题