问题
解答题
设a为正实数，函数f（x）=x3-ax2-a2x+1，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数y=f（x）至多有两个零点，求实数a的取值范围．
答案
（Ⅰ）由f（x）=x3-ax2-a2x+1，得f'（x）=3x2-2ax-a2．（2分）
令f'（x）=3x2-2ax-a2=0，得x1=-
，x2=a(a＞0)，a 3
| x | (-∞，-
| -
| (-
| a | （a，+∞） | ||||||
| f（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||||||
| f（x） | 增 | 极大 | 减 | 极小 | 增 |
∴f(x)极大=f(-
)=(-a 3
)3-a(-a 3
)2-a2×(-a 3
)+1=a 3
a3+1（6分）5 27
f(x)极小=f(a)=a3-a3-a3+1=1-a3（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）在(-∞，-
)上递增，在(-a 3
，a)上递减，在（a，+∞）上递增，a 3
f(x)极大=f(-
)=a 3
a3+1＞0(a＞0)，f(x)极小=f(a)=a3-a3-a3+1=1-a3（9分）5 27
当极小值f（a）=1-a3≥0，即0＜a≤1时，y=f（x）在x∈(-
，+∞)上有1个或0个零点，a 3
此时f（-1）=a2-a=a（a-1）≤0，∴y=f（x）在x∈(-∞，-
)上有1个零点，a 3
∴0＜a≤1时，y=f（x）有1个或2个零点； （11分）
当极小值f（a）=1-a3＜0，即a＞1时，y=f（x）在x∈(-
，+∞)上有2个零点，a 3
此时f（-a）=1-a3＜0，y=f（x）在x∈(-∞，-
)上有1个零点，a 3
∴当a＞1时，y=f（x）有3个零点； （13分）
综上，若函数y=f（x）至多有两个零点，则a的取值范围是a∈（0，1]．（14分）