设a为正实数,函数f(x)=x3-ax2-a2x+1,x∈R.
(Ⅰ)求f(x)的极值;
(Ⅱ)设函数y=f(x)至多有两个零点,求实数a的取值范围.
(Ⅰ)由f(x)=x3-ax2-a2x+1,得f'(x)=3x2-2ax-a2.(2分)
令f'(x)=3x2-2ax-a2=0,得x1=-,x2=a(a>0),
x | (-∞,-) | - | (-,a) | a | (a,+∞) |
f(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 增 | 极大 | 减 | 极小 | 增 |
(5分)
∴f(x)极大=f(-)=(-)3-a(-)2-a2×(-)+1=a3+1(6分)
f(x)极小=f(a)=a3-a3-a3+1=1-a3(7分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)在(-∞,-)上递增,在(-,a)上递减,在(a,+∞)上递增,
f(x)极大=f(-)=a3+1>0(a>0),f(x)极小=f(a)=a3-a3-a3+1=1-a3(9分)
当极小值f(a)=1-a3≥0,即0<a≤1时,y=f(x)在x∈(-,+∞)上有1个或0个零点,
此时f(-1)=a2-a=a(a-1)≤0,∴y=f(x)在x∈(-∞,-)上有1个零点,
∴0<a≤1时,y=f(x)有1个或2个零点; (11分)
当极小值f(a)=1-a3<0,即a>1时,y=f(x)在x∈(-,+∞)上有2个零点,
此时f(-a)=1-a3<0,y=f(x)在x∈(-∞,-)上有1个零点,
∴当a>1时,y=f(x)有3个零点; (13分)
综上,若函数y=f(x)至多有两个零点,则a的取值范围是a∈(0,1].(14分)