问题 解答题

设a为正实数,函数f(x)=x3-ax2-a2x+1,x∈R.

(Ⅰ)求f(x)的极值;

(Ⅱ)设函数y=f(x)至多有两个零点,求实数a的取值范围.

答案

(Ⅰ)由f(x)=x3-ax2-a2x+1,得f'(x)=3x2-2ax-a2.(2分)

令f'(x)=3x2-2ax-a2=0,得x1=-

a
3
x2=a(a>0),

x(-∞,-
a
3
)
-
a
3
(-
a
3
,a)
a(a,+∞)
f(x)+0-0+
 f(x)极大极小
(5分)

f(x)极大=f(-

a
3
)=(-
a
3
)3-a(-
a
3
)2-a2×(-
a
3
)+1=
5
27
a3+1(6分)

f(x)极小=f(a)=a3-a3-a3+1=1-a3(7分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)在(-∞,-

a
3
)上递增,在(-
a
3
,a)
上递减,在(a,+∞)上递增,

f(x)极大=f(-

a
3
)=
5
27
a3+1>0(a>0),f(x)极小=f(a)=a3-a3-a3+1=1-a3(9分)

当极小值f(a)=1-a3≥0,即0<a≤1时,y=f(x)在x∈(-

a
3
,+∞)上有1个或0个零点,

此时f(-1)=a2-a=a(a-1)≤0,∴y=f(x)在x∈(-∞,-

a
3
)上有1个零点,

∴0<a≤1时,y=f(x)有1个或2个零点;                         (11分)

当极小值f(a)=1-a3<0,即a>1时,y=f(x)在x∈(-

a
3
,+∞)上有2个零点,

此时f(-a)=1-a3<0,y=f(x)在x∈(-∞,-

a
3
)上有1个零点,

∴当a>1时,y=f(x)有3个零点;                                 (13分)

综上,若函数y=f(x)至多有两个零点,则a的取值范围是a∈(0,1].(14分)

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