（1）f′（x）=3ax²-3ax=3ax（x-1），a＞0时，由f′（x）＞0，得x＜0或x＞1，由f′（x）＜0，得0＜x＜1，

所以f（x）的单调递增区间是（-∞，0），和（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．而函数g（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．所以两个函数的公共单调递增区间是（1，+∞），公共单调递减区间是（0，1）．

（2）h（x）=ax3-

3

2

ax2-3（x-1）²．

h′（x）=3ax²-3（a+2）x+6=3a（x-

2

a

）（x-1），

令h′（x）=0，得x=

2

a

，或x=1，由于

2

a

＜1，

易知x=1为h（x）的极小值点，

所以h（x）的极小值为h（1）=-

a

2

，

（3）由（2）h（x）=ax3-

3

2

ax2-3（x-1）²．h′（x）=3ax²-3（a+2）x+6=3a（x-

2

a

）（x-1），

①若a=0，则h（x）=-3（x-1）²．h（x）的图象与x轴只有一个交点，即方程f（x）=g（x）只有一个解．

②若a＜0，则h（x）的极大值为h（1）=-

a

2

，h（x）的极小值为h（

2

a

）=-

4

a2

+

6

a

-3＜0，h（x）的图象与x轴有三个交点，即方程f（x）=g（x）有三个解．

③若0＜a＜2，则h（x）的极大值为h（1）=-

a

2

＜0，h（x）的图象与x轴只有一个交点，即方程f（x）=g（x）只有一个解．

④若a=2，则h′（x）=6（x-1）²≥0，h（x）单调递增，h（x）的图象与x轴只有一个交点，即方程f（x）=g（x）只有一个解．

⑤若a＞2，则由（2）知，h（x）的极大值为h（

2

a

）=-4(

1

a

-

3

4

)2-

3

4

＜0，h（x）的图象与x轴只有一个交点，即方程f（x）=g（x）只有一个解．

综上所述，当a≥0，方程f（x）=g（x）只有一个解．若a＜0，方程f（x）=g（x）有三个解．