设“甲做对”为事件A，“乙做对”为事件B，“丙做对”为事件C，

由题意知，P(A)=

1

2

，P(B)=m，P(C)=n．

（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ξ=0”是对立的，

所以至少有一位学生做对该题的概率是1-P(ξ=0)=1-

1

4

=

3

4

．

（2）由题意知P(ξ=0)=P(

.

A

.

B

.

C

)=

1

2

(1-m)(1-n)=

1

4

，

           P(ξ=3)=P(ABC)=

1

2

mn=

1

24

，

整理得  mn=

1

12

，m+n=

7

12

．

由m＞n，解得m=

1

3

，n=

1

4

．

（3）由题意知a=P(ξ=1)=P(A

.

B

.

C

)+P(

.

A

B

.

C

)+P(

.

A

.

B

C)=

1

2

(1-m)(1-n)+

1

2

m(1-n)+

1

2

(1-m)n=

11

24

，

b=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=

1

4

，

∴ξ的数学期望为Eξ=0×

1

4

+1×

11

24

+2×

1

4

+3×

1

24

=

13

12

．