问题
解答题
甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为
（Ⅰ）求X的分布列； （Ⅱ）若P（X=1）的值最大，求实数a的取值范围． |
答案
设“甲、乙、丙三名运动员各射击一次击中目标”分别为事件A，B，C，所以P(A)=
，P(B)=a，P（C）=a，且A，B，C相互独立．…（1分）1 2
（Ⅰ）X的可能取值为0，1，2，3．
所以P(X=0)=P(. A . B
)=P(. C
)P(. A
)P(. B
)=. C
(1-a)2，1 2
P(X=1)=P(A. B
)+P(. C
B. A
)+P(. C . A
C)=-. B
a2+a，1 2
P(X=2)=P(AB
)+P(A. C
C)+P(. B
BC)=-. A
a2+a，1 2
P(X=3)=P(ABC)=
a2．1 2
所以X的分布列为
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
| -
| -
|
|
（Ⅱ）因为P（ζ=1）的值最大，
所以P（X=1）-P（X=0）≥0，P（X=1）-P（X=2）≥0，P（X=1）-P（X=3）≥0．…（6分）
所以
又0＜a＜1，a(1-a)≥0
≥01-2a 2
≥01-2a2 2
解得0＜a≤
，1 2
所以a的取值范围是(0，
]． …（10分）1 2