问题 解答题
已知函数f(x)=
x2
ax+b
(a,b为常数)
,且方程f(x)-1=0有两个实根为x1=-2,x2=1
(1)求函数f(x)的解析式
(2)设k>1,解关于x的不等式:f(x)<
(k+1)x-k
2-x
答案

(1)∵函数f(x)=

x2
ax+b
(a,b为常数),且方程f(x)-1=0有两个实根为x1=-2,x2=1,

∴将x1=-2,x2=1分别代入方程

x2
ax+b
-1=0,

4
-2a+b
-1=0
1
a+b
-1=0
,解得
a=-1
b=2

f(x)=

x2
2-x
(x≠2);

(2)由(1)可知,f(x)=

x2
2-x
(x≠2),

∴不等式f(x)<

(k+1)x-k
2-x
即为
x2
2-x
(k+1)x-k
2-x

整理可得,

x2-(k+1)x+k
2-x
<0,

即(x-2)(x-1)(x-k)>0,

①当1<k<2时,不等式的解集为(1,k)∪(2,+∞);

②当k=2时,不等式即为(x-2)2(x-1)>0,

∴不等式的解集为(1,2)∪(2,+∞);

③当k>2时,不等式的解集为(1,2)∪(k,+∞).

综合①②③可得,当1<k<2时,不等式的解集为(1,k)∪(2,+∞),

当k=2时,不等式的解集为(1,2)∪(2,+∞),

当k>2时,不等式的解集为(1,2)∪(k,+∞).

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