问题
解答题
一个口袋中装有n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．
（Ⅰ）试用n表示一次摸奖中奖的概率p；
（Ⅱ）若n=5，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；
（Ⅲ） 记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P．当n取多少时，P最大？
答案
（Ⅰ）一次摸奖从n+5个球中任选两个，有Cn+52种，它们等可能，其中两球不同色有Cn1C51种，一次摸奖中奖的概率p=
．10n (n+5)(n+4)
（Ⅱ）若n=5，一次摸奖中奖的概率p=
，三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是P3(1)=5 9
•p•(1-p)2=C 13
．80 243
（Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P=P3（1）=C31•p•（1-p）2=3p3-6p2+3p，0＜p＜1，P'=9p2-12p+3=3（p-1）（3p-1），知在(0，
)上P为增函数，在(1 3
，1)上P为减函数，当p=1 3
时P取得最大值．又p=1 3
=10n (n+5)(n+4)
，解得n=20．1 3
答：当n=20时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大．
