已知函数f（x）定义域为R，且f（0）=1，对任意x，y∈R恒有f（x-y）=f

问题解答题

已知函数f（x）定义域为R，且f（0）=1，对任意x，y∈R恒有f（x-y）=f（x）-

y²（2x-y+3），
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若方程f（x）=a有三个实数解，求实数a的取值范围．

答案

（1）因为f（0）=1，对任意x，y∈R恒有f(x-y)=f(x)-

y2(2x-y+3)，

∴令y=x，代入可得f(0)=f(x)-

x2(2x-x+3)，即f(x)=

x3+x2+1，

（2）因为方程f（x）=a有三个实数解，所以函数y=f（x）与y=a图象有三个交点

又因为f′（x）=x²+2x=x（x+2），

当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

当x∈（-2，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

∴当x=-2时f（x）取极大值，f(x)极大值=

，

当x=0时，f（x）取极小值，f（x）_极小值=1，

∴1＜a＜