问题 解答题

袋中装着标有数字1,2,3,4的卡片各1张,甲从袋中任取2张卡片(每张卡片被取出的可能性都相等),并记下卡面数字和为X,然后把卡片放回,叫做一次操作.

(1)求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望E(X);

(2)甲进行四次操作,求至少有两次X不大于E(X)的概率.

答案

(1)由题设知,X可能的取值为:3,4,5,6,7.

随机变量X的概率分布为

X34567
P
1
6
1
6
1
3
1
6
1
6
因此X的数学期望E(X)=(3+4+6+7)×
1
6
+5×
1
3
=5.

(2)记“一次操作所计分数X不大于E(X)”的事件记为C,则

P(C)=P(“X=3”或“X=4”或“X=5”)=

1
6
+
1
6
+
1
3
=
2
3
. 

设四次操作中事件C发生次数为Y,则Y~B(4,

2
3

则所求事件的概率为P(Y≥2)=1-C41×

2
3
×(
1
3
3-C40×(
1
3
4=
8
9

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