已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x

问题解答题

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
（2）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件：①对任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②对任意x∈R，都有0≤f(x)-x≤

(x-1)2，若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵f（-1）=0，

∴a-b+c=0即b=a+c，

故△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²

当a=c时，△=0，函数f（x）有一个零点；

当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点．

（2）假设存在a，b，c满足题设，由条件①知抛物线的对称轴为x=-1

且f(x)min=0；∴

=-1

4ac-b2

⇒

b=2a

b2=4ac

⇒a=c

在条件②中令x=1，有0≤f（1）-1≤0，

∴f（1）=1，

即a+b+c=1

由

a+b+c=1

b=2a

a=c

⇒a=c=

， b=

（检验略）

∴存在a=

， b=

， c=

使f（x）同时满足条件①②．