已知函数f（x）=4x3+3tx2-6t2x+t-1，x∈R，其中t∈R．
（Ⅰ）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）当t≠0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
（I）当t=1时，f（x）=4x3+3x2-6x，f（0）=0
f'（x）=12x2+6x-6，f'（0）=-6，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-6x．
（II）f'（x）=12x2+6tx-6t2，f'（0）=0，解得x=-t或x=t 2
∵t≠0，以下分两种情况讨论：
（1）若t＜0，则
＜-t，∴f（x）的单调增区间是（-∞，t 2
），（-t，+∞）；f（x）的单调减区间是（t 2
，-t）t 2
（2）若t＞0，则
＞-t，∴f（x）的单调增区间是（-∞，-t），（t 2
，+∞）；f（x）的单调减区间是（-t，t 2
）t 2
（III）证明：由（II）可知，当t＞0时，f（x）在（0，
）内单调递减，在（t 2
，+∞）内单调递增，以下分两种情况讨论：t 2
（1）当
≥1，即t≥2时，f（x）在（0，1）内单调递减．t 2
f（0）=t-1＞0，f（1）=-6t2+4t+3≤-13＜0
所以对于任意t∈[2，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
（2）当0＜
＜1，即0＜t＜2时，f（x）在（0，t 2
）内单调递减，在（t 2
，1）内单调递增t 2
若t∈（0，1]，f（
）=-t 2
t3+t-1≤-7 4
t3＜0，7 4
f（1）=）=-6t2+4t+3≥-2t+3＞0
所以f（x）在（
，1）内存在零点．t 2
若t∈（1，2），f（
）=-t 2
t3+t-1＜-7 4
t3+1＜0，7 4
f（0）=t-1＞0∴f（x）在（0，
）内存在零点．t 2
所以，对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
综上，对于任意t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．