问题
解答题
某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是
（Ⅰ）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率； （Ⅱ）设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，求ξ的数学期望和方差． |
答案
（Ⅰ）该选手在复赛阶段被淘汰包括通过初赛，不能通过复赛，这两个事件是相互独立的，
记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，
“该选手通过决赛”为事件C，
则P(A)=
，P(B)=3 4
，P(C)=1 2
．1 4
根据相互独立事件的概率得到
该选手在复赛阶段被淘汰的概率是P=P(A
)=P(A)P(. B
)=. B
×(1-3 4
)=1 2 3 8
（Ⅱ）该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，则ξ可能的取值为1，2，3
P(ξ=1)=P(
)=1-. A
=3 4
，1 4
P(ξ=2)=P(A
)=P(A)P(. B
)=. B
×(1-3 4
)=1 2
，3 8
P(ξ=3)=P(AB)=P(A)P(B)=
×3 4
=1 2 3 8
∴ξ的数学期望Eξ=1×
+2×1 4
+3×3 8
=3 8 17 8
ξ的方差Dξ=(1-
)2×17 8
+(2-1 4
)2×17 8
+(3-3 8
)2×17 8
=3 8
…39 64