问题
解答题
某射手向一个气球射击，假定各次射击是相互独立的，且每次射击击破气球的概率均为
（I）若该射手共射击三次，求第三次射击才将球击破的概率； （II）给出两种积分方案： 方案甲：提供三次射击机会和一张700点的积分卡，若未击中的次数为ξ，则扣除积分128ξ点． 方案乙：提供四次射击机会和一张1000点的积分卡，若未击中的次数为ξ，则扣除积分256ξ点． 在执行上述两种方案时规定：若将球击破，则射击停止；若未击破，则继续射击直至用完规定的射击次数． 问：该射手应选择哪种方案才能使积分卡剩余点数最多，并说明理由． |
答案
（I）设Ai表示第i次将球击破，
则P=P（
•. A1
•A3）=. A2
×3 4
×3 4
=1 4
．（5分）9 64
（II）对于方案甲，积分卡剩余点数η甲=700-128ξ，ξ=0，1，2，3，
由已知可得P（ξ=0）=
，1 4
P（ξ=1）=
×3 4
=1 4
，3 16
P（ξ=2）=（
）2×3 4
=1 4
，9 64
P（ξ=3）=（
）3=3 4
．27 64
故Eξ=0×
+1×1 4
+2×3 16
+3×9 64
=27 64
．111 64
故Eη甲=E（700-128ξ）=700-128Eξ=478．（8分）
对于方案乙，积分卡剩余点数η乙=1000-256ξ，ξ=0，1，2，3，4，
由已知可得P（ξ=0）=
，1 4
P（ξ=1）=
×3 4
=1 4
，3 16
P（ξ=2）=（
）2×3 4
=1 4
，9 64
P（ξ=3）=（
）3×3 4
=1 4
，27 256
P（ξ=4）=（
）4=3 4 81 256
∴Eξ=0×
+1×1 4
+2×3 16
+39 64
+4×27 256
=81 256
．525 256
故Eη乙=E=1000-Eξ=475．（11分）
故Eη甲＞Eη乙，
所以选择方案甲积分卡剩余点数最多．（12分）