在区间[

1

3

，3]内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，

①a＞0若x∈[1，3]时，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx-ax，（x＞0）

g′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，

若g′（x）＜0，可得x＞

1

a

，g（x）为减函数，

若g′（x）＞0，可得x＜

1

a

，g（x）为增函数，

此时f（x）必须在[1，3]上有两个交点，

∴

g( 1 a )＞0 g(3)≤0 g(1)≤0

，解得，

ln3

3

≤a＜

1

e

①

设

1

3

＜x＜1，可得1＜

1

x

＜3，

∴f(x)=2f(

1

x

)=2ln

1

x

，此时g（x）=-2lnx-ax，

g′（x）=-

2+ax

x

，

若g′（x）＞0，可得x＜-

1

a

＜0，g（x）为增函数

若g′（x）＜0，可得x＞-

1

a

，g（x）为减函数，

在[

1

3

，1]上有一个交点，则

g(- 2 a )＞0 g( 1 3 )≥0 g(1)≤0

，解得0＜a≤6ln3②

综上①②可得

ln3

3

≤a＜

1

e

；

②若a＜0，对于x∈[1，3]时，g（x）=lnx-ax＞0，没有零点，不满足在区间[

1

3

，3]内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，

综上：

ln3

3

≤a＜

1

e

；

故选A；