问题
解答题
某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．
（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；（Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
答案
（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C．
则P（A）=
×1 4
×1 4
×1 4
=1 4
，1 256
P（B）=
=
-1A 33 43
；5 256
三等奖的情况有：“生，生，意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”三种情况．
P（C）=(
×1 4
×1 4
×1 4
×1 4
)+(A 24
×1 4
×1 4
×1 4
×1 4
)+(A 24
×1 4
×1 4
×1 4
×1 4
)=A 24
；9 64
（Ⅱ）设摸球的次数为ξ，则ξ=1，2，3．
P(ξ=1)=
，P(ξ=2)=1 4
×3 4
=1 4
，P(ξ=3)=3 16
×3 4
×3 4
=1 4
，P(ξ=4)=1-P(ξ=1)-P(ξ=2)-P(ξ=3)=9 64
．27 64
故取球次数ξ的分布列为
| ξ | 1 | 2 | 3 | 4 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 16 |
| 9 |
| 64 |
| 27 |
| 64 |