一次围棋擂台赛，由一位职业围棋高手设擂做擂主，甲、乙、丙三位业余围棋高手攻擂．如果某一业余棋手获胜，或者擂主战胜全部业余棋手，则比赛结束．已知甲、乙、丙三人战胜擂主的概率分别为p1，p2，p3，每人能否战胜擂主是相互独立的．
（1）求这次擂主能成功守擂（即战胜三位攻擂者）的概率；
（2）若按甲、乙、丙顺序攻擂，这次擂台赛共进行了x次比赛，求x得数学期望；
（3）假定p3＜p2＜p1＜1，试分析以怎样的先后顺序出场，可使所需出场人员数的均值（数学期望）达到最小，并证明你的结论．
（1）设擂主能成功守擂的事件为A，三人攻擂获胜的事件为Bi，i=1，2，3，则P（Bi）=pi，
三人攻擂均失败的概率为（1-p1）（1-p2）（1-p3）．
所以，擂主守擂成功的概率是P（A）=（1-p1）（1-p2）（1-p3）．…3分
（2）比赛场数X=1，2，3．
X=1，比赛一场结束，则第一位业余棋手就获胜，其概率为P（X=1）=p1；
X=2，比赛二场结束，则第一位业余棋手攻擂失败，第二位胜利，其概率是P（X=2）=（1-p1） p2；
X=3，比赛三场结束，则第一，二位业余棋手攻擂失败，其概率为P（X=3）=（1-p1）（1-p2），
E（X）=p1+2（1-p1） p2+3（1-p1）（1-p2）=3-2p1-p2+p1p2．…6分
（3）答按获胜概率从大到小的顺序出场，则所需出场人员数的均值为最小．…7分
下面证明以上结论．
设q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列，如果按q1，q2，q3有顺序出场，
由（2）可得期望 E（X）=3-2q1-q2+q1q2．
因为△=（3-2q1-q2+q1q2）-（3-2p1-p2+p1p2）=2（p1-q1）+（p2-q2）+q1q2-p1p2=2（p1-q1）+（p2-q2）-（p1-q1）p2-（p2-q2）q1=（2-p2） （p1-q1）+（p2-q2）（1-q1）≥（1-q1）（ p1-q1）+（p2-q2）（1-q1）=（1-q1）[（p1+p2）-（q1+q2）]≥0．
等号成立当且仅当q1=p1，q2=p2．
所以，按获胜概率从大到小的顺序出场，所需出场人员数的均值为最小．…10分
B．
D．