问题
填空题
已知数列{an}是首项为15、公差为整数的等差数列，前n项的和是Sn，S11≥0，S12＜0，Sn的最大值是S，函数y=f（x）满足f（1+x）=f（5-x）对任意实数x都成立，且y=f（x） 的所有零点和恰好为S，则y=f（x）的零点的个数为______．
答案
设数列{an}的公差为d，则d∈Z
∵S11=11•a6≥0，
∴a6=a1+5d=15+5d≥0，
解得d≥-3…①
又∵S12=
•12=a1+a12 2
•12=180+66d＜0，a6+a7 2
解得d＜-
…②30 11
由①②得d=-3
则Sn=-
n2+3 2
n33 2
则当n=5或n=6时，Sn的最大值是S=45
∵函数y=f（x）满足f（1+x）=f（5-x）对任意实数x都成立
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=3对称
即函数y=f（x）所有零点的平均数为3
又∵y=f（x） 的所有零点和恰好为S=45
∴y=f（x）的零点共有
=15个45 3
故答案为：15